Тяжелое ядро

Тяжелое ядро

Теперь давайте рассмотрим другой крайний случай — тяжелое ядро. Легче всего анализировать предельный случай, поэтому предположим, что ядро имеет бесконечную массу. На примере того же бильярда можно представить себе, что бильярдный стол – это тело бесконечной массы. И если вы кием ударяете по шару и он попадает в борт, то происходит рикошет. Если это столкновение идеально упругое (потерь энергии нет), то шар изменит направление движения, причем угол падения  будет равен углу отражения (как свет отражается от зеркала), скорость же шара не изменится, если считать, что столкновение идеально упругое. Почему так происходит? Потому что в физике обязательно должен выполняться закон сохранения энергии и закон сохранения импульса (в данном случае). Если мы рассматриваем тело бесконечной массы (как стол в бильярде), то налетающий шар, имеющий мизерную массу по сравнению со столом, не может сдвинуть стол с места, не может передать ему энергию и   скорость (ведь стол остается неподвижным), поэтому вся скорость и вся энергия сохраняются в движущемся шаре. Отсюда качественно ясно — почему от легких ядер,  равных  водороду до тяжелых ядер эффективность замедления ухудшается. Если бы существовали, предположим, ядерные частицы с массой, меньшей, чем масса протона (в природе этого нет, хотя легкие частицы, конечно, есть — электроны и т.д.), то опять эффективность замедления была бы хуже, потому что тяжелый шар сносил бы легкую частицу с собой. Представьте, летит тяжелый шар и встречает на своем пути муху — он даже не заметит ее, снесет со своего пути. И оказывается, что самая лучшая передача энергии происходит в том случае, когда массы сталкивающихся шаров равны. Тогда будет максимальная потеря энергии.

Какая существует формальная зависимость для вычисления x? Есть формула, но она, в принципе, сложная.  Для массы ядра, больше единицы (М > 1) x приблизительно можно вычислить по такой формуле:

Тяжелое ядро.                                                          (19.2)

Вот  такая простая формула связывает массу и среднелогарифмическую потерю энергии. Но она справедлива, т.е. дает правильные результаты, когда  М > 10. А если М < 10 формула (19.2) будет приближенная, дает ошибки и в этом случае надо пользоваться более строгой формулой. Если взять, например, уран или свинец (массовое число  ~ 200) и рассмотреть, насколько они хорошо замедляют нейтроны, то по формуле (19.2) будет видно, что xPb равно Тяжелое ядро Тяжелое ядро. А вот для следующего замедлителя  — графита (углерод) xС =Тяжелое ядро = 0,158 (расчеты выполнены по более точной  формуле, т.к. формула (19.2) в данном случае не совсем точная). Т.е. видно, что по этому параметру графит примерно в шесть раз лучше замедляет нейтроны, чем свинец. 

        Если выражение (19.1) пропотенцировать, отношение энергии нейтрона после столкновения к энергии нейтрона до столкновения будет равно Тяжелое ядро. Т.е. если взять среднее отношение энергий нейтронов до столкновения и после, то    

Тяжелое ядро =  Тяжелое ядро.                                             (19.3)

Если  взять натуральный логарифм этого выражения, то мы как раз придем к формуле (19.1). Это означает, что для водорода при одном столкновении, в среднем, энергия уменьшается в e раз (натуральный логарифм от е по основанию e),  т.е. в среднем  энергия нейтрона при столкновении с водородом уменьшается в e раз.

       Можно найти среднее число столкновений, которое нужно нейтрону для полного замедления — от быстрых до тепловых энергий. Давайте его найдем. Если принять, что энергия нейтрона до столкновения равна 2×Тяжелое ядроэВ (быстрые нейтроны), а энергия тепловых нейтронов 0,025 эВ, взять логарифм отношения этих энергий и вычислить его, то получится   ln Тяжелое ядро= 18,2. Т.е. логарифм отношения максимальной энергии нейтрона (она равна энергии деления) к минимальной (энергия тепловых нейтронов) равен 18,2. Тогда полное число столкновений до замедления N равно 

N = Тяжелое ядро.                                                   (19.4)

Для водорода  N @Тяжелое ядро ~ 18, т.е. в среднем нужно испытать восемнадцать столкновений, чтобы нейтрон из быстрого стал тепловым (в водороде).

       Вопрос — для каждого ядра свое x?

      Да, для каждого ядра свое x. Выражение (19.2) – это общая формула для вычисления x, т.е. x зависит от массового числа. Если x < 10, то эта формула неправильная, она справедлива только для больших x. Для любых ядер есть формула более громоздкая, вообще точная. А выражение (19.2) – это приближенная формула, если возьмете массу ядра 10, например, бериллий (масса бериллия 9, округленно 10), то для бериллия будет x = Тяжелое ядро @ 0,2.

      Вопрос -  значит, по определению, x — это логарифм двух энергий, т. е. x=18,2?

      Нет, x — это средняя логарифмическая энергия отношения энергии нейтрона до столкновения к энергии нейтрона после одного столкновения. А 18,2 — это просто логарифм отношения энергии быстрых нейтронов к энергии тепловых нейтронов. И если у нас средняя логарифмическая потеря энергии при одном столкновении x, а логарифм вообще изменения энергии от быстрых до тепловых 18, то если мы это 18 делим на среднюю логарифмическую потерю при одном столкновении, то мы получаем тогда число столкновений, которое нужно для того, чтобы нейтрон из быстрого стал тепловым. Т.е. в этом случае берется средняя потеря энергии. Случайно может сложиться так, что нейтрон будет каждый раз ударяться «в лоб» ядру замедлителя, тогда будет мало столкновений, а, также случайно, может быть наоборот – столкновение будет по касательной, тогда потребуется много столкновений. Но, поскольку все эти события случайны и событий много, то средняя величина очень хорошо описывает процесс замедления.

       Второе, что нам нужно знать из теории замедления – это то, что процесс замедления носит дискретный характер. Что означает дискретный характер?  Дискретный – значит, ступенчатый, поскольку столкновения нейтрона происходят как бы последовательно, одно за одним. На рис. 19.2 изображен процесс потери энергии нейтрона, где по оси абсцисс отложен номер столкновения n. Здесь можно проследить всю жизнь нейтрона от начала, когда он был быстрым, до конца, когда он стал тепловым  Вместо числа столкновений n можно написать как бы время жизни нейтрона (которое пропорционально n) – вот он родился в нулевой момент времени и дальше возраст его увеличивается, нейтрон живет, блуждает в среде, сталкивается с ядрами и т.д. Особенно наглядно этот процесс может быть представлен во времени, если рисовать жизнь нейтрона от рождения – вот он родился, какое-то время живет при той энергии, при которой он родился (пока летит, пока не столкнулся). Дальше происходит столкновение, нейтрон как бы мгновенно теряет энергию, потом снова летит. Т.е. он может случайно лететь здесь меньше, тут может потерять энергию больше, т.е. процесс жизни нейтрона — случайная вещь. Но когда вы рассматриваете много событий, то все они укладываются на какую-то среднюю линию и в некоторых случаях можно рассматривать процесс замедления как непрерывный процесс, т.е. как будто (поскольку очень много событий) они происходят непрерывно. Но на самом деле дискретность играет важную роль и мы ее будем учитывать, когда это потребуется.

Тяжелое ядроЭто мы рассмотрели средний логарифм потери энергии, а вот в одном случае, в одном столкновении существует какая-то предельная энергия нейтрона после столкновения, ниже которой уже быть не может. Только для водорода может быть ситуация, когда после столкновения  энергия нейтрона равна нулю, а если ядро более тяжелое, то даже при лобовом столкновении нейтрон не может остановиться и потерять всю свою энергию. Давайте сейчас это соотношение запишем. Если Тяжелое ядро- минимальная энергия нейтрона после столкновения, она равна следующему – энергии нейтрона  до столкновения Тяжелое ядро, умноженной на коэффициент a        

Тяжелое ядро,                                          (19.5)

где величина a тоже зависит от массового числа, и она равна

Тяжелое ядро.                                                     (19.6)

Тогда максимальная потеря энергии DЕmax будет равна

Тяжелое ядро   Тяжелое ядро.                                (19.7)

Вот это мы получили как бы величину ступеньки замедления, максимальную ступеньку замедления.