Система Нордгейма-Фукса

Система Нордгейма-Фукса

Давайте сейчас запишем уравнение. Эта система уравнений (она описана в литературе) называется системой Нордгейма-Фукса или решением Нордгейма-Фукса. Это американские физики, точнее, Фукс – немец, но жил в Америке, это тот самый Фукс, который потом данные по атомной бомбе нашей разведке передал, он сидел в Америке в тюрьме. Потом Фукс был в ГДР директором института ядерной физики, сейчас уже умер.

Вопрос – его потом обменяли.

Вот этого я уже не помню.

Запишем уравнение, мы рассматриваем случай, когда в исходном состоянии реактивность r > bэфф. Идет быстрый разгон, так что запаздывающими нейтронами мы сейчас вообще будем пренебрегать. Т.е. идет такой быстрый разгон, настолько реактор надкритичен, что запаздывающие нейтроны не играют никакой роли – в этом случае все упрощается. Т.е. мы должны записать уравнение Система Нордгейма-Фукса…. . Здесь N(t) – уже не плотность нейтронов, а тепловая мощность реактора. Раз мы будем учитывать динамику, то нам надо знать тепловую мощность реактора. Но тепловая мощность реактора пропорциональна, конечно, плотности нейтронов. Т.е. это  Система Нордгейма-Фукса - скорость изменения тепловой мощности реактора.

Если вы вспомните уравнение, которое у вас было записано для Система Нордгейма-Фукса, когда мы от kэфф перешли к реактивности (посмотрите чуть-чуть назад), то мы вот этим воспользуемся и запишем                                            

Система Нордгейма-Фукса,                                              (16.10)

здесь  l
– время жизни мгновенных нейтронов, N(t) – тепловая мощность реактора.

Вот если представить сейчас, вернувшись к старым нашим обозначениям, что N – это не тепловая мощность, а плотность нейтронов, то N/l будет количество исчезнувших в 1 с нейтронов. А сколько нейтронов рождается? А рождается столько же, умноженное на  kэфф. Но из kэфф мы должны вычесть b. Потому что b — это то, что потом родится, для быстрого разгона этих нейтронов не существует, для мгновенного разгона. И мы здесь, как видите, не учитываем те нейтроны, запаздывающие, которые появятся спустя 2 с, 10 с. Т.е. настолько быстрый разгон, что этим можно пренебречь. Я сейчас напомню, что раньше у нас вот такая же штука была

Система Нордгейма-Фукса,                                (16.11)

вот такое вот было уравнение. Тогда, если правую часть расписать, получится следующее:

Система Нордгейма-Фукса,

если n/l вынести, то тут останется

Система Нордгейма-Фукса.

Вот то, что записано здесь, только для тепловой мощности. Итак, допущения, которые мы делаем: это быстрый разгон, поэтому рождением запаздывающих нейтронов можно пренебречь, т.е. мы рассматриваем очень быстротечный процесс, когда запаздывающие нейтроны еще не родились, не появились.. Вот допущение этого уравнения.

        Дальше. Запишем второе уравнение для реактивности, уже с учетом обратной связи r(t). Вот здесь давайте запишем, что эта реактивность является функцией времени, потому что уже нельзя ее считать постоянной, т.к. работает обратная связь, мы скачком реактивность ввели, а она со временем будет срабатываться за счет отрицательной обратной связи. Чему будет равна реактивность?

Система Нордгейма-Фукса,                                     (16.12)

здесь r0 – начальный скачок реактивности,

          aтоп – температурный коэффициент топлива,

          Ттоп(0), Ттоп(t) – температура топлива в исходный момент времени и в момент t.

        Давайте попытаемся понять это уравнение. Значит, мы ввели скачком положительную реактивность r0 в момент времени t = 0. Реактивность больше b. Пошел разгон, быстрый разгон, это мы предполагаем. И все тепло, которое выделяется в топливе, идет на нагрев таблетки, т.е. тепло там и остается. Как нам найти реактивность обратной связи? Вот если в исходный момент Ттоп = Ттоп(0), значит, разность равна нулю и никакой поправки не вносится. Но чем дальше идет разгон, тем эта температура во времени растет. Появляется разность температур — между начальной и температурой в данный момент времени. А что такое aтоп? Это Система Нордгейма-Фукса, т.е. это производная от реактивности или от kэфф. Если температура выросла, допустим, на 100, умножаем на Система Нордгейма-Фукса, получаем dr, т.е. получаем изменение реактивности. Чем дальше идет разгон, тем эта температура выше. Коэффициент a, мы знаем, отрицателен, это доплеровская, по топливу, составляющая, по 238U. Таким образом, суммарная реактивность становится меньше, меньше, меньше.

Как вы видите, у нас еще не хватает уравнений, чтобы определить все параметры. Смотрите, в первом уравнении у нас есть мощность и реактивность как функции времени, т.е. две неизвестные функции – мы не знаем N(t) и r(t) тоже не знаем. Во втором  уравнении у нас тоже две неизвестные функции – реактивность как функция времени и температура топлива как функция времени. Значит, нам необходимо еще одно уравнение, которое бы связало температуру топлива и мощность реактора. Как записывается это последнее уравнение? Мы можем написать таким образом: mтоп – это масса топлива в активной зоне, допустим, кг. Стоп – теплоемкость топлива, т.е. количество килокалорий или килоджоулей на кг. Теплоемкость характеризует количество тепла, которое надо подвести к телу, в данном случае к 1 кг, чтобы увеличить температуру на 10. Вот что такое теплоемкость. Дальше мы здесь записываем производную Система Нордгейма-Фукса - скорость изменения температуры. И вот все это на самом деле равно тепловой мощности реактора в момент t

Система Нордгейма-Фукса.                                        (16.13)

Давайте попытаемся сейчас смысл понять. Почему это уравнение в таком виде записывается? Что такое мощность? Мощность – это количество энергии, выделившейся в единицу времени, например, в кВт/с. Киловатт можно перевести в другие единицы – 1 кВт – это 860 ккал/час. Мы определили вначале, что теплоотвода нет, что процесс такой быстрый, что вся выделившаяся энергия идет только на нагрев топлива,. На сколько градусов нагреется топливо при такой мощности зависит от массы топлива и от его теплоемкости. Чем больше масса и чем больше теплоемкость, тем на меньшее количество градусов нагреется топливо за 1 с. Если выделилась за 1 с какая-то энергия, то при такой мощности она вся пошла на нагрев топлива. Давайте в другой форме запишем это уравнение для скорости изменения температуры, может быть, более понятно будет

Система Нордгейма-Фукса .                                      (16.14)

Здесь dT(t)/dt – скорость изменения температуры, она чему будет равна? Она будет прямо пропорциональна мощности и обратно пропорциональна массе топлива и теплоемкости топлива. Может быть, в таком виде уравнение более понятно будет. Т.е. величина нагрева всего топлива в градусах в секунду будет равна подведенному теплу, допустим, в калориях в 1 с (или в джоулях в секунду), оно стоит в числителе выражения (16.14), деленному на то количество тепла, которое нужно затратить, чтобы нагреть всю массу топлива на 1 градус (знаменатель выражения (16.14)).

Таким образом, тогда вы получили три уравнения, с тремя неизвестными функциями – мощность, температура топлива и реактивность. И тогда эта система из трех уравнений будет иметь решение. Какие решения этой системы получены? Во-первых, давайте нарисуем сейчас график, не количественный, конечно, а качественный, на котором изобразим, как будут изменяться  параметры в зависимости от времени. Для реактивности, то, что ниже нуля – это отрицательные значения. Допустим, в нулевой момент времени мы скачком ввели положительную реактивность r0. Все равно какую, числа нам неважны. Реактор начал разогреваться, разгоняться, реактивность стала падать. И, в общем то, реактивность попадет в область отрицательных значений, потому что если реактор продолжает разогреваться, то, в принципе, реактивность может стать и отрицательной. Т.е. обратная связь станет больше, чем введенная реактивность.

Система Нордгейма-ФуксаДопустим, на этом же графике при t = 0 N = N0 – это исходная мощность N0. Сначала идет очень крутой рост мощности, но постепенно темп роста замедляется, потому что реактивность становится меньше, из-за того, что работает обратная связь. Дальше, когда реактивность станет равной нулю, мощность достигнет максимума, а потом начнет падать, потому что реактивность отрицательна.

На этом же графике 16.1 мы изобразим три параметра — r(t), Tтоп (t) и N(t). Качественно характер изменения этих трех функций будет такой, как на рис. 16.1.

Вопрос – температура топлива разве расти не будет?

Температура расти не будет, потому что мощность в этой области падает до нуля, т.е. чем меньше мощность, тем меньше темп прироста температуры.

Вопрос – реактивность будет расти тогда.

Нет, у нас что происходит? Начался рост мощности, и вот в той точке, когда реактивность стала равная нулю, мощность достигла максимума. Отсюда она стала падать. Но тепло то продолжает выделяться, раз тепло продолжает выделяться, топливо продолжает греться. Но темп нагрева его все меньше, меньше и меньше, по мере того, как мощность стремится к нулю.

Вопрос – т.е. на постоянном уровне будет температура?

 Температура будет на постоянном уровне, потому что реактивность здесь в отрицательной области.

Вопрос – когда мощность пересечет вот эту нулевую свою отметку, после этого температура должна назад вернуться, по идее?

Нет, мы же рассматриваем случай термостата. Термоса. Вот мы исходно приняли, что нет отвода тепла. Все тепло, которое «вплюнулось» туда при разгоне, оно там и осталось. Т.е. вбросилось мгновенно. А твэл изолированный. Это такое приближение. Т.е. то, что будет дальше – оно, конечно, очень приближенно описывает реальность. Тепло растечется, все это будет не так. Но для постановки задачи важно было вот эту часть процесса определить.

Так вот, что дало решение? Чему равен максимум? Вот этот Nmax  равен следующему:

Система Нордгейма-Фукса,                                  (16.15)

где mтоп – масса топлива;

      Стоп
– теплоемкость топлива;

      aтоп – температурный коэффициент реактивности, модуль я ставлю, чтобы знак 

«+» был, потому что  a отрицательный, а если стоит модуль, то знак функции под модулем отбрасывается;

      l – время жизни мгновенных нейтронов;

      r0 – исходная реактивность.

       Вопрос – это к.п.д. у вас стоит?

Нет. Какой к.п.д.? Это 2. Тут к.п.д. никакого быть не может. Тепло же никуда не уходит, турбины здесь никакой нет, только рассматривается процесс в активной зоне в топливе. И тепло никуда не уходит во внешний цикл, абсолютно.

Значит, отсюда видно, что если мы дали начальную реактивность как раз равную b, то вообще будет ноль, т.е. никакого скачка на мгновенных нейтронах не может быть. Т.е. все начинается тогда, когда исходная реактивность больше b. И чем больше исходная реактивность, тем больше будет максимум. Но максимум мощности, с другой стороны, будет тем больше, чем слабее обратная связь. Если обратная связь вообще очень слабенькая, то нужен огромный нагрев, чтобы эту реактивность сработать (если температурный коэффициент топлива маленький). Ну и наоборот, вы видите, в числителе (16.15) мощность тем больше, чем больше масса, чем больше теплоемкость, потому что, чтобы большую массу с большой теплоемкостью нагреть надо туда больше тепла вогнать. Понятно?

Вопрос – у вас реактивность переходит 0 и дальше она уменьшается?

Реактивность уменьшается, но в какой то момент она остановится, вот как мощность стабилизируется, так и реактивность должна стабилизироваться. Была реактивность r0, начальная, и такой вот нагрев топлива произошел – вот это dТ. Если мы умножим это dТ, нагрев топлива, на температурный коэффициент реактивности и эту величину вычтем из начальной, то мы получим тогда как бы конечную реактивность. Горячий реактор, мы же рассматриваем случай твэлов с изолированными стенками, твэл перегрет до очень высоких температур. И процесс просто остановится.

Вопрос – еще раз, что на что умножить?

   Значит, смотрим на это уравнение. До каких пор будет падать реактивность? Реактивность чему равна? Из исходного скачка реактивности вы будете вычитать реактивность обратной связи, вот она, температурный коэффициент топлива, а это подогрев топлива, разность, но мы видим, что подогрев топлива сначала быстро растет, а потом он все – перестает расти, т.е. он вырастает до постоянного какого то значения. И поэтому реактивность тоже стремится к какому то постоянному значению, дальше она уменьшаться не может, потому что уже вся обратная связь выбрана. Насколько могло, топливо от выделившейся энергии нагрелось, а поскольку это термос, условно, тепло никуда не девается, и, значит, образуется такая отрицательная реактивность, т.е. реактор становится подкритическим.

Чему равна максимальная температура топлива, полученная из этих уравнений?

Система Нордгейма-Фукса.                                      (16.16)

Теперь запишем Q, выделившийся интеграл, выделившаяся энергия, которая равна

Система Нордгейма-Фукса,                                           (16.17)

В этом случае интеграл берется от нуля до бесконечности, потому что процесс устанавливается. Выделившаяся энергия – это площадь под кривой мощности, если брать определенный интеграл. Мощность у нас здесь до нуля спадает, так что это Q равно

Система Нордгейма-Фукса.                                        (16.18)

       Ну и еще можно из этих уравнений найти первоначальный период экспоненциального разгона. Т.е. мы считаем, что у нас разгон шел по экспоненте и мощность вначале, вот это N(t)/N0, в начальный момент времени (тут никаких запаздывающих нейтронов нет) равна

Система Нордгейма-Фукса,                                                      (16.19)

где t — установившийся период, начальный период разгона

Система Нордгейма-Фукса,                                                (16.20)

где  l – время жизни мгновенных нейтронов.

       Вопрос – а предыдущую формулу можно еще прокомментировать?  Система Нордгейма-Фукса.

Когда мы даем вот этот скачок реактивности, мы создаем условия для разгона реактора на мгновенных нейтронах. Мы сейчас рассматриваем очень короткое время, когда даже обратная связь еще не начала работать. Вот эта формула справедлива только в случае очень малых времен, когда время стремится к нулю. Поэтому я говорю, в начальный период, когда температура еще чуть-чуть только выросла, мы смотрим, с какой скоростью «рванул» реактор, какой этот период разгона при вот этом мгновенном разгоне. Если это сюда подставить, то мы получим такую формулу, которую мы и раньше, в принципе, с вами писали

Система Нордгейма-Фукса.                                                (16.21)

Вот с какой скоростью у нас трогается реактор, вот это быстрый разгон. Мы видим скачок реактивности, но мы же должны b то вычесть, потому что это на запаздывающих нейтронах, это потом будет, когда же вычтем b, это будет время жизни мгновенных нейтронов. Но как только начнется рост температуры, реактивность начнет уменьшаться вот по такому закону и эта формула уже будет неправильная. Т.е. она правильная только до тех пор, пока r близко к r0. Поэтому я и говорю, что это начальный период разгона, т.е. это период разгона реактора в самый начальный момент этого процесса. Пока еще реактивность не уменьшается за счет действия обратной связи.

        Вопрос – а вот запаздывание …..   по времени….

Никакого. Поэтому я и говорю, что температурный коэффициент реактивности топлива – это безинерционная обратная связь. Вот мы рассматриваем с вами, что мгновенно мощность выросла, допустим, в 10 раз. Она куда делась? Никуда, она вся пошла на нагрев топлива. Как только выделилась мощность, так произошел нагрев.     

   Вопрос – получается, что эта формула вообще неправильная? Мгновенного роста активности?

  Какая? Почему неправильная?

Вопрос – Королев говорил, что с учетом прогрева ….

Вопрос (другой) – Королев  там что-то напутал, он говорил, что запаздывание 8 с и т.д.

 Надо тогда сначала определить, что вы понимаете под запаздыванием температурного коэффициента. Мы рассматриваем сейчас процесс адиабатический, как говорят, с тепловой изоляцией на твэлах – т.е. тело имеет какую то температуру. Дальше, для того, чтобы выросла температура, нужно к этому телу подвести какое то тепло, например, за 1 с. Как только вы это тепло подвели, оно тут же пошло на нагрев топливной таблетки, ведь ему же деться некуда, поэтому оно все внутри остается. Т.е. рост температуры топливной таблетки будет отслеживать рост мощности. Причем это неважно, реактор это или не реактор. Возьмите, допустим, электронагреватель и представьте себе, что этот электронагреватель полностью теплоизолирован, т.е. тепло из него никуда не выходит и пока нет никакого тока. А где тепло может поглотиться? Тепло идет только на теплоемкость, только на нагрев. И вот вы скачком выключатель замкнули и пошел ток. Вы знаете, что мощность электронагревателя ~ 100 Вт, предположим, что мы рассматриваем кипятильник. Кипятильник, только полностью заизолированный. Как только мощность выросла, прошла 1 с, за 1 с выделилось какое то количество килокалорий, джоулей. Но куда тепло делось? Оно пошло только на увеличение температуры, на нагрев. Еще увеличилась мощность – еще на столько температура возросла. Если мощность постоянная – рост температуры будет линейный. Но здесь мощность не постоянная, как видите. Сначала идет крутой рост, потом наступает максимум, потом функция начинает падать. Это идеализированный случай, потому что это изолированное топливо, абсолютно без теплоотвода.