Интервал замедления


Интервал замедления

Теперь мы должны записать, а сколько же нейтронов попадает в этот интервал за счет замедления? Строго говоря, мы должны как бы интегрировать, т.е. брать количество нейтронов, которые попадут из разных областей в DU и т.д. Но мы воспользуемся сейчас другим соотношением, очень простым. Представим себе, что у нас нет в замедлителе 238U, т.е. рассмотрим один замедлитель. Тогда у нас соотношение будет такое: сколько в эту область попало нейтронов в результате упругого столкновения, ровно столько же нейтронов и выйдет, тоже в результате упругого столкновения. И вот вместо того, чтобы заниматься интегрированием (сколько сюда попадет), мы запишем здесь, а сколько отсюда выходило бы нейтронов в 1 с в результате упругих столкновений, если бы захвата не было, если бы 238U не было. Т.е. тогда мы здесь должны записать поток нейтронов, но уже без индекса r, а вот тот поток нейтронов, который характерен для этой области Ф(U1)×D U1×Ss. Тогда уравнение баланса будет выглядеть так

Интервал замедления.         (19.16)

Рассматриваем еще раз это уравнение баланса. С левой стороны совершенно понятно, что написано – это количество нейтронов, выбывающих в 1 с в 1 см3 из интервала летаргии шириной DU1 за счет двух процессов – истинного поглощения (слева, первый член — количество поглощенных нейтронов) и за счет упруго рассеянных нейтронов. Раз резонанс узкий, мы считаем, что при любом упругом рассеянии нейтрон уже из области резонанса выбывает. С правой стороны, строго говоря, у нас записано количество нейтронов, тоже выбывающих из такого же энергетического интервала или интервала летаргии DU1 путем упругого рассеяния, но в том случае, если бы резонанса не было, если бы вообще был бы один чистый замедлитель. Это по смыслу. Но ведь те нейтроны, которые попадают в этот интервал сверху, они не знают, есть здесь резонанс или нет. Поэтому мы с полным правом можем считать, что то количество нейтронов, которое выбывало бы из этого резонанса в отсутствие резонансного поглощения, оно равно количеству нейтронов, которое попадает в ширину этого интервала. А попадает одинаковое количество нейтронов, независимо от того, есть резонанс или нет резонанса, потому что резонанс назад не действует, он действует только в ту сторону. Если резонанс может поглотить, тогда поток нейтронов будет меньше.

А теперь мы можем заняться преобразованиями. Из соотношения  (19.16) давайте найдем нужное нам отношение потоков нейтронов Интервал замедления. Вынесем Фr за скобки, тогда у нас получится

Интервал замедления.                (19.17)

На DU1 можно сократить, тогда в явном виде можно записать отношение, которое нам нужно

*   Интервал замедления,                                        (19.18)

здесь Интервал замедления- постоянно, поэтому мы не пишем аргумент, от которого она бы зависела.

      Теперь подставим в выражение (19.14) для W1 вот это отношение (19.18). Тогда получим

Интервал замедления.                              (19.19)

Интервал замедления тоже можно сократить. В знаменателе вынесем за скобку Интервал замедления. Тогда будет следующее

Интервал замедления.                                       (19.20)

Вот какую величину мы получили для вероятности захвата в процессе замедления на первом резонансе.

      Теперь найдем, наоборот, вероятность избежать захвата на первом резонансе j1. Для этого из единицы вычтем величину W1 (19.20)

Интервал замедления.                                      (19.21)

Следующее действие, которое мы произведем – прологарифмируем выражение (19.21), т.е. возьмем от этого выражения натуральный логарифм. Тогда

Интервал замедления.                          (19.22)

       Вот мы нашли j1 как 1 – W1. Но на самом деле у нас резонансов много, и если известна вероятность избежать захвата на одном резонансе, как найти вероятность избежать захвата на всем количестве резонансов?

      Вопрос – найти сумму.

      Нет, не сумму, а произведение. Потому что вероятности независимых событий умножаются (как в теории надежности – если надежность одного насоса 0,98, а работающего независимо от него – 0,97, то надежность двух насосов будет 0,98×0,97). 

         Вопрос – как к.п.д.

       Как к.п.д., совершенно верно. Так вот, вероятности независимых событий умножаются. Тогда мы должны записать, что j на всех резонансах равно произведению

Интервал замедления,                                                  (19.23)        

где N – полное количество резонансов.

         Если j равно произведению jк, то  lnj  это будет логарифм произведения, и чтобы найти вероятность избежать захвата на всех резонансах, надо просто перемножить вероятности избежать захвата на каждом резонансе. Дальше воспользуемся тем, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Поэтому мы можем записать, что

Интервал замедления.                                    (19.24)

Подставив значения j, получим

Интервал замедления.                                         (19.25)

Таким образом, мы постепенно приближаемся к окончательной формуле и сейчас мы должны вспомнить, что такое определенный интеграл. Если у нас есть какая то функция, то определенный интеграл есть площадь под этой кривой. Как мы находим определенный интеграл? Разбиваем график функции на узенькие полоски, находим в каждой из них среднее значение площади и суммируем. Так вычисляется определенный интеграл. Мы сейчас произведем обратное действие — от суммы, которой мы представляли сечения, перейдем наоборот, к интегралу. Т.е., когда мы сделаем это обратное действие – от суммы перейдем к интегралу, то верхняя граница будет UТ  (тепловое), а интегрирование будет проводиться по всей области. Вместо Uк
везде нужно просто текущее значение написать. Вместо DUк — просто dU – дифференциал. Тогда у нас будет   

Интервал замедления.                                          (19.26)

         Если мы обратный переход совершаем, т.е. вот эту сумму (19.25) вместо интеграла разбиваем на узкие полоски, каждую полоску берем в том месте, где у нас есть резонанс, потому что между резонансами сечение равно нулю, то мы при этом делаем такое предположение (на самом деле очень близкое к действительности), что у нас сечение sс(U) в области резонансов большое, а в промежутках – ноль. Что нам важно здесь — чтобы сечение было правильное, а здесь оно все равно вне резонанса равно нулю и когда мы интегрируем, то если сечение равно нулю, тогда и поток нейтронов, хоть он там есть, но умноженный на нулевое сечение, в этот интеграл, в эту площадь никакой вклад не даст. Давайте дальше поработаем с выражением (19.26). Запишем снова lnj. Что отсюда можно вынести?

Интервал замедления.                                               (19.27)

Интеграл, входящий в формулу (19.27) получил название эффективный резонансный интеграл поглощения. Мы его сейчас выпишем, а потом будем анализировать его подробно

Интервал замедления.                                             (19.28)

Если продолжить алгебраически запись, то тогда

Интервал замедления.                                                  (19.29)

И последнее формальное преобразование — нам надо это выражение (19.29) пропотенцировать, т.е. от логарифма перейти к экспоненте. Поскольку натуральный логарифм имеет основание е, то тогда пропотенцированное выражение будет равно

Интервал замедления.                                            (19.30)

Вот мы получили формально выражение для вероятности избежать резонансного захвата в процессе замедления на 238U  в гомогенном случае (мы рассматриваем гомогенный случай).

     Давайте проанализируем немного выражение (19.30). Как влияет на j каждый из параметров, которые входят в показатель выражения (19.30) ? Ясно, что когда мы увеличиваем в числителе концентрацию ядер 238U, а показатель степени отрицательный, то само j будет уменьшаться. Это вроде бы физически понятно – чем больше ядер резонансного поглотителя, тем и поглощение должно быть больше, а вероятность избежать захвата, наоборот, меньше. Теперь эффективный резонансный интеграл поглощения. В теории резонансного поглощения для замедляющихся нейтронов резонансный интеграл играет такую же роль, как для тепловых нейтронов сечение захвата тепловых нейтронов. Т.е. если эффективный резонансный интеграл будет больше, то будет поглощаться больше нейтронов, а поскольку этот показатель здесь отрицательный, вероятность избежать захвата будет меньше.

      Вопрос – т.е. диапазон должен быть больше?

      В каком случае?

      Вопрос – если интеграл – это сумма, то чем больше энергия, тем больше диапазон?

       В интеграл у нас ведь входит вся энергетическая область от сечения захвата.

       Вопрос – т.е. область получается постоянная?

     Да, из нее самим сечением Интервал замедления вырезаются те куски, где сечение отлично от нуля. Там, где сечение равно нулю, там что интегрируй, что нет – все равно в интеграл вклада никакого не будет (если сечение равно нулю). Будет только вклад вот от этих прямоугольников, один из которых мы рассмотрели.

       А теперь давайте на знаменатель (19.30) посмотрим. В знаменателе стоит макроскопическая замедляющая способность. Тут зависимость будет противоположная. Вот если мы, допустим, эту макроскопическую замедляющую способность будем уменьшать, а количество урана оставим без изменения.  Т.е. концентрация r8 будет постоянна, а качество замедлителя, допустим, x будем менять. Был легкий замедлитель, у которого x было большое, например, углерод или водород, неважно. А мы заменим его на свинец или уран, к примеру. x сразу стало во много раз меньше. Формально видно, что если знаменатель уменьшается, то показатель степени растет — значит, вероятность поглощения растет, а вероятность избежать рассеяния будет падать. Это чисто формально. А в чем физическая причина? Помните, когда мы рассматривали баланс нейтронов – сколько нейтронов попадает в интервал и сколько выходит из интервала – или если даже взять определение вероятности поглощения – в числителе у нас было количество поглощенных нейтронов — r8×s×DU, а в знаменателе — xSs. Значит, при том же количестве поглощенных нейтронов в резонансе, когда  xSs  маленькое и подходит мало нейтронов (плотность замедления мала), вероятность поглощения увеличивается. Если поглощается одно и то же количество нейтронов – ну вот как по трубопроводу у нас расход уменьшается – а дырка, через которую идет утечка, та же самая. Значит, вероятность утечки возрастает. Это отсюда тоже видно. Что у нас здесь как бы не прозрачно? В этот эффективный резонансный интеграл входит и макроскопическое сечение рассеяния (в знаменателе), и микроскопическое сечение поглощения. И это делает несколько неопределенным ответ на вопрос, а что будет, если, допустим, концентрация r8
растет? Потому что когда растет концентрация  r8 в экспоненте (19.30), то она и в эффективном резонансном интеграле (в знаменателе) растет. Значит, эффективный резонансный интеграл будет уменьшаться. Т.е. получается что, с одной стороны, один сомножитель при увеличении r8 увеличивается, а второй сомножитель при увеличении r8 будет уменьшаться. Но, поскольку в знаменателе для эффективного резонансного интеграла (19.28) r8 не в чистом виде входит (там единичка есть), то в общем случае зависимость Jэфф  от r8 будет более слабая, т.е. Jэфф  будет медленнее уменьшаться с ростом r8, чем будет увеличиваться  знаменатель j от r8. Т.е. если в показателе экспоненты r8 прямо увеличилось в два раза, значит, оно двойку и дает. А когда в Jэфф r8 в знаменателе (19.28) увеличивается в двойку, то надо смотреть, насколько это отношение по сравнению с единицей большое. Тенденция есть, но количественно определить трудно.

        Дальше нам надо посмотреть, как эффективный резонансный интеграл 238U зависит от этого параметра. Введем новое обозначениеИнтервал замедления, которое называется эффективным сечением рассеяния, которое равно

Интервал замедления.                                                              (19.31)

Т.е. эффективное сечение рассеяния равно истинному макроскопическому сечению рассеяния, деленному на концентрацию ядер 238U. Дальше, конечно, можно раскрыть выражение (19.31), это будет просто

Интервал замедления = Интервал замедления.                                          (19.32)

Подставим выражение Интервал замедления в (19.28), тогда Интервал замедления будет равно

Интервал замедления= Интервал замедления.                                     (19.33)

Из этого определения видно, что эффективный резонансный интеграл зависит от концентрации ядер 238U, т.е. от концентрации ядер поглотителя или, другими словами, от эффективного макроскопического сечения рассеяния.

       Давайте рассмотрим формулу (19.30) для j и проанализируем два крайних случая — когда концентрация ядер 238U стремится к нулю, т.е. резонансного поглотителя очень мало (среда в основном состоит из замедлителя), а потом наоборот – замедлителя мало, а поглотителя много.

        Итак, рассмотрим первый случай, r8 ® 0. Что будет в этом случае с эффективным резонансным интегралом поглощения? Интервал замедления к чему будет стремиться? Мы видим, что r8 стоит в знаменателе (19.28), оно стремится к нулю, значит, дробь можно зачеркнуть, единица так и остается, значит, интеграл Интервал замедления будет стремиться к выражению

Интервал замедления.                                      (19.34)

Вот эта величина  Интервал замедления называется истинный резонансный интеграл поглощения (не эффективный). Это как ядерная константа – истинный резонансный интеграл поглощения нейтронов 238U. Просто Интервал замедления, слова эффективный там нет. Потому что он не зависит от реактора, это ядерная константа, вы видите, туда ничего не входит, кроме сечения. Т.е. это интеграл от сечения захвата по всей области летаргии (или энергии, все равно), вся площадь. Истинные резонансные интегралы поглощения почти для всех ядер или изотопов уже измерены и их можно найти в любых справочниках ядерных констант. Также, как для тепловых нейтронов есть колонка — сечение захвата тепловых нейтронов при энергии 0,025 эВ, так же есть данные по резонансным интегралам.

        Вопрос – как их определить?

        Экспериментально.

Что же получается, когда r8 ® 0? Когда мы стремим r8 к нулю, и Jэфф
переходит просто в Jr, то тогда мы можем записать, что

Интервал замедления    при r8
® 0.                              (19.35)

        Вопрос – экспонента стремится к 1, если r8 = 0.

       Но как стремится? Сейчас мы воспользуемся тем, что r8 очень мало. Значит, весь показатель много меньше единицы, и мы воспользуемся опять выражением, которое следует из математического анализа – разложением экспоненты в ряд. Т.е. если мы имеем функцию вида Интервал замедления, то при х << 1 (х ® 0),  это будет просто 1 – х, а остальными членами – квадратом, кубом можно пренебречь, потому что х << 1. Вот как раз с этим случаем мы сейчас здесь сталкиваемся (когда х << 1), вот этот х – это весь показатель в формуле (19.35). Т.е. в данном случае х = Интервал замедления. Раз мы рассматриваем r8 ® 0[ee1] , значит, х << 1. Тогда, если воспользоваться этим разложением экспоненты в ряд, мы получим, что

Интервал замедления.                                              (19.36)

Таким образом, для случая, когда r8 ® 0 для j получается очень простая формула.

       Вопрос – т.е. захвата практически нет?

      Нет, захват есть, но здесь что важно? Ведь j — это единица минус вероятность захвата. Так вот, что видно? Видно, что вероятность захвата прямо пропорциональна концентрации ядер 238U. Вот для этого мы и сделали здесь это разложение, чтобы убедиться, что когда резонансного поглотителя мало (мала концентрация238U), то вероятность поглощения прямо пропорциональна концентрации ядер 238U.

       Вопрос – а «много меньше единицы» это сколько?

      В 10 раз – это уже много меньше, потому что уже в этом случае Интервал замедления~ 0,9 (1 – 0,1), т.е. если вы возьмете таблицы экспоненциальных функций и сравните точные значения экспоненты с показателем х < 0,1 и приближенные значения, рассчитанные как (1 – показатель), то уже получается очень высокая точность.

       Пока  мы действуем чисто формально. В физику не вникаем. Потом проанализируем.

Теперь давайте рассмотрим другой крайний случай, когда, наоборот, концентрация ядер 238U большая (т.е. r8
будем считать как бы критерием)

Интервал замедления,                                           (19.37)

здесь Интервал замедления- самое максимальное сечение из всех резонансов. Пусть r8 настолько велико, что все вот это выражение (19.37) много больше единицы (больше 10, а там уже неважно – 100, 1000 и т.д.). Т.е. рассматриваем другой крайний случай – больших концентраций 238U.

      Во что тогда превратится эффективный резонансный интеграл? Если величина (19.37) много больше единицы, то в знаменателе (19.28)  единицей можно пренебречь. В этом случае в (19.28) можно сократить Интервал замедления, тогда Интервал замедлениявообще от Интервал замедления не будет зависеть

Интервал замедления,                    (19.38)

т.к. Интервал замедления.

        Вопрос – это 18,2 для водорода?

       Почему? Это не имеет значения, для чего. У нас общее выражение для эффективного резонансного интеграла, содержащее произвольное Ss, x  не входит в Jэфф. Важно одно, когда r8 очень большое и оно много больше единицы, эффективный резонансный интеграл 238U просто равен величине Интервал замедления.

         Если теперь подставить выражение (19.38) в формулу для j, получится

Интервал замедления .                              (19.39)

Мы знаем, что 18,2/x — это  число столкновений, которое необходимо для замедления нейтронов. Помните, когда мы брали полный интеграл летаргии 18,2 и делили на среднюю потерю летаргии при одном столкновении (среднелогарифмическую потерю), мы получали полное число столкновений. Тогда выходит, что в случае, когда замедлителя мало, а 238U много, Интервал замедления. Видно, что это ничтожно маленькая величина, потому что даже если взять лучший замедлитель — водород, когда x = 1,    е-18
– будет ничтожно мало. Это означает, что в отсутствие замедлителя вообще ни один нейтрон не достигнет тепловой области, он поглотится где-то вверху. А если замедлитель более тяжелый, x будет меньше единицы, тогда тем более, j будет еще меньше.

         Вопрос – к чему же мы пришли?

       А пришли к тому, что если концентрация ядер 238U очень маленькая, то тогда вероятность поглощения нейтронов пропорциональна концентрации ядер 238U, а j близко к единице и равно соотношению (19.36), которое много меньше единицы.

Интервал замедления      Другой крайний случай – когда концентрация  ядер 238U большая, тогда вероятность избежать захвата очень маленькая. Но что здесь интересно? Что j в этом случае не зависит от концентрации  ядер 238U, т.е. когда мы начинаем увеличивать   концентрацию  ядер 238U, у нас вероятность поглощения сначала растет линейно, потом все медленнее и медленнее, потом становится очень большой и перестает вообще зависеть от концентрации ядер 238U. Чисто формально мы это сейчас получили. А теперь надо понять, почему получилась такая математическая ситуация, с какими процессами, происходящими с нейтронами, это связано? Сейчас мы должны подойти к фактору самоэкранирования потока нейтронов. Чтобы у вас было более полное представление о том, как ведет себя эффективный резонансный интеграл поглощения 238U, нарисуем сейчас еще один график – зависимость Интервал замедленияот Интервал замедления - эффективного сечения рассеяния, которое мы ввели (19.31). Все численные расчеты сделаны, все это проинтегрировано, есть все эти графики. На рис. 19.8, если Интервал замедления растет вправо, то r8, наоборот, растет влево. Потому что большое Интервал замедления соответствует очень маленькой концентрации ядер 238U. Мы на этом графике можем рассмотреть крайний случай, когда замедлителя вообще нет, есть чистый металлический 238U, но у него есть свое сечение рассеяния ~ 8 барн (оно играет роль), и тоже есть макроскопическое сечение рассеяния. Вот в этом случае, если нет замедлителя, эффективный резонансный интеграл поглощения имеет минимальное значение, равное 9,2 барн.