Энергетический интервал

Поскольку у нас в этот узкий энергетический интервал DU нейтроны попадают в результате упругих столкновений с левой стороны от процесса замедления, и мы тогда должны записать, что сколько нейтронов в этот интервал DU попадет слева, т.е. из области выше данной, столько же в 1 с уйдет из этого интервала. Мы стационарный случай рассматриваем. Но уходить из этого интервала нейтроны будут уже двумя путями – если попадают они только в результате упругого замедления из верхней областиэнергий, то выбывают они двумя путями – как в результате истинного поглощения нейтронов, исчез нейтрон, поглотился, так и в результате упругих столкновений с ядрами замедлителя внутри этого узкого интервала. Потому что вот здесь мы как раз используем приближение узкого резонанса. Вот то, что мы с вами писали, вот это DЕ вот это вот потери энергии при одном столкновении, вот она для всех замедлителей намного больше, чем ширина резонанса. Т.е. приближение узкого резонанса, которое всегда справедливо, что вот эта DU, ширина резонанса, всегда много меньше, чем  DЕ – потеря энергии, здесь мы должны записать в летаргических единицах,  DU – максимальная потеря энергии при одном столкновении. Отсюда можно ….. к DЕ, можно перейти к летаргии, то же самое разделить на Е и взять логарифм. Т.е. вот есть ступенька замедления. Допустим, она равна для водорода, если взять, она вообще 1 равна, это средняя, это среднелогарифмическая. А если взять резонанс, то он в летаргических единицах тысячные составляет, даже, наверное, десятитысячные. Т.е. это приближение всегда верно. И поэтому раз резонанс узкий, то мы можем считать, что любое упругое столкновение нейтрона с ядрами замедлителя внутри этой энергетической полоски приведет к тому, что нейтрон выскочит из нее, т.е. он уже станет, исчезнет из этой полоски, т.е. это будет убыль. Потому что можно рассмотреть процесс замедления упругого вот здесь, допустим, ступенька большая, т.е. часть нейтронов попадет сюда, часть сюда, часть сюда, вот так равномерно будет рассеиваться, а вот так, чтобы он здесь стукнулся и здесь же остался – вероятность будет ничтожная, потому что это настолько легкое касательное столкновение и настолько потеря энергии велика, что можно пренебречь теми нейтронами, которые чуть-чуть скольнут по ядру замедлителя и почти не потеряют энергию. Таких нейтронов будет очень мало, потому что максимальная потеря энергии при одном столкновении намного больше, чем ширина резонанса. Вот это основное допущение – узкого резонанса, из которого мы делаем вывод, что любое упругое столкновение нейтронов внутри резонанса приводит к тому, что нейтрон из этого резонанса выбывает. Ну, энергию другую получает, значит, он потерян из этого баланса, так же, как … Поэтому мы и говорим, что сюда нейтроны, в этот резонанс прибывают и отсюда, и отсюда, отовсюду – это процесс упругого столкновения. И вот в этот энергетический интервал нейтроны прибывают сверху из больших энергий или меньших летаргий, и мы говорим, что количество нейтронов, попавших в него, должно равняться количеству нейтронов выбывших. Попадают они только одним путем – в результате упругих столкновений из более высоких областей энергий, а выбывают двумя путями уже – истинное поглощение (он вообще исчез) или путем упругого замедления. Вот это соотношение мы должны сейчас записать и из него уже получать отношение потоков. Вот смысл этого баланса.

А теперь давайте формально этот баланс запишем. Давайте сначала запишем сколько выбывает из этого интервала. Выбывает, значит, понятно. Сколько поглощается? Это мы должны записать Фr(U1)×DU1×r8×Энергетический интервал- т.е. вот все, которые поглотились в 1 с в 1 см3 – они же и выбыли из этого энергетического интервала.

Теперь мы должны к ним добавить, а сколько же нейтронов выбудет в результате упругого рассеяния? Вот исходя из того, что резонанс узкий, мы должны записать здесь просто число упругих столкновений в этом интервале. Как мы его запишем? То же самое, запишем поток нейтронов при U1
- Фr(U1)×DU1×Ss, мы считаем, что любое упругое столкновение – нейтрон вылетает, он как бы потерян для этой энергии, он приобрел другую энергию вне этого интервала. Значит, эта часть ясна.

Теперь мы должны записать, а сколько же нейтронов попадает в этот интервал за счет замедления. Строго говоря, мы должны как бы интегрировать, брать вот сколько отсюда попадет, отсюда и т.д. Но мы воспользуемся сейчас другим соотношением, простым, очень простым. Представим себе, что у нас нет в замедлителе 238U, один замедлитель. Тогда у нас соотношение будет такое: сколько сюда попало в результате упругого столкновения, ровно столько же и выйдет, тоже в результате упругого столкновения. И вот вместо того, чтобы заниматься интегрированием сколько сюда попадет, мы запишем здесь, а сколько отсюда выходило бы нейтронов в 1 с в результате упругих столкновений, если бы захвата не было, если бы 238U не было. Т.е. мы здесь тогда должны записать поток нейтронов но уже без вот этого индекса r, а вот тот поток нейтронов, который стоит здесь, который характерен для этой области Ф(U1)×D U1×Ss

Энергетический интервал.

Рассматриваем еще раз это уравнение баланса. С левой стороны совершенно понятно, что написано – это количество нейтронов, выбывающих в 1 с в 1 см3 из интервала летаргии шириной DU1 за счет двух процессов – истинное поглощение, слева, первый член записан, количество поглощенных и количество упруго рассеянных нейтронов. Раз резонанс узкий, мы считаем, что любое упругое рассеяние уже его туда выбывает. С правой стороны, строго говоря, у нас написано, количество нейтронов тоже выбывающих из такого же энергетического интервала или интервала летаргии DU1
путем упругого рассеяния, но если бы резонанса не было, вообще был бы чистый замедлитель. По смыслу. Но, если у нас ведь для тех нейтронов, которые попадают в этот интервал сверху, они не знают, что здесь есть резонанс. Они не знают, есть здесь резонанс или нет. Поэтому мы с полным правом можем считать, что то количество нейтронов, которое выбывало бы из этого резонанса в отсутствие резонансного поглощения, оно равно количеству нейтронов, которое попадает в ширину этого интервала, попадает одинаковое количество – есть резонанс или нет резонанса, потому что резонанс назад не действует, он действует только в ту сторону. Если он может поглотить, тогда будет поток меньше нейтронов.

Вопрос – поэтому мы все по U1
делаем?

 U1 – это мы берем всегда, эту энергию мы рассматриваем, вот эту щель узкую DU1 при этой летаргии. Но мы полное право имеем приравнять количество нейтронов выбывающих из интервала летаргии DU1 путем упругого рассеяния в отсутствие резонанса, вот поскольку поток Ф у нас не имеет индекса r – это значит. Если у нас действительно нет резонанса, то у нас вот здесь отсутствовал бы вот этот член поглощение, у нас было бы тождественно вот здесь написано это равнялось бы этому. Они ничем бы не отличались. А дальше физическое соображение, что количество нейтронов, которое в результате упругого столкновения попадает вот в этот интервал летаргии, оно не зависит от того, есть тут резонанс или нет резонанса. Потому что резонанс в эту сторону не действует, он действует только после себя, когда он поглотил. Вот в этом вся физика этого соотношения. Дальше будет одна алгебра.

Если понятно, тогда мы можем заняться преобразованиями. Из этого соотношения давайте теперь найдем нужное нам отношение вот этих потоков нейтронов Энергетический интервал . Давайте здесь Фr
вынесем за скобки, тогда у нас получится здесь

Энергетический интервал.

Здесь можно сократить и давайте в явном виде запишем отношение, которое нам нужно

*   Энергетический интервал,

Энергетический интервал- постоянно, поэтому мы не пишем аргумент, что она зависит. Вот чему равно.

        Подставим теперь сюда в выражение для W вот это отношение. Тогда получим

Энергетический интервал.

Энергетический интервал тоже можно сократить. В знаменателе вынесем за скобку Энергетический интервал. Тогда будет следующее

Энергетический интервал.

Вот какую величину мы получили для вероятности захвата в процессе замедления на первом резонансе.

Теперь найдем вероятность наоборот избежать захвата на первом резонансе j1 – из единицы вычтем вот эту величину и все

Энергетический интервал.

Следующее действие, которое мы произведем – прологарифмируем это выражение. Возьмем от этого выражения натуральный логарифм, т.е. запишем, что логарифм

Энергетический интервал.

Вот взяли натуральный логарифм.

       Теперь мы сделаем разложение этого логарифма в ряд. Дело в том, что вот эта вероятность поглощения вот она, мы ее из1 вычли, на одном резонансе она много, много меньше 1. Потому что вообще j на всех резонансах порядка 0,8 – а этих резонансов там сотни. Т.е. на одном резонансе вероятность поглощения меньше одной сотой где-то. Т.е. вот эта вся величина много меньше 1. Если заглянуть в любой справочник по математике, то вот такая функция  ln(1-x)  для случая, когда х << 1, с очень хорошей точностью можно записать, что это равно примерно –х, если посмотреть любой справочник по высшей математике (по дифференциальноу исчислению)

Ln(1 – x) » -x  при х << 1.

Вот мы воспользуемся сейчас этим. Тогда мы можем записать, что

Я одно действие пропустил, перед. Это неважно, сейчас напишу. Вот мы нашли j1 как 1 – W1. Но на самом деле у нас резонансов много, и как найти, если известна вероятность избежать захвата на одном резонансе, как найти вероятность избежать захвата на всем количестве резонансов?

      Вопрос – сумма.

Нет, не сумма, произведение. Потому что вероятности независимых событий умножаются как в теории надежности – если у вас есть надежность одного насоса 0,98, работающего независимо с ним – 0,98, то вероятность отказа (надежность) двух насосов будет 0,98×0,98 =

         Вопрос – как к.п.д.

Как к.п.д., совершенно верно. Так вот, вероятности независимых событий умножаются. Тогда мы должны записать такую вещь, что lnj на всех резонансах равен произведению по какому то к = 1 до к = N (N – полное количество резонансов)

Энергетический интервал;          Энергетический интервал.

Значит, lnj общее равно произведению lnjк
и вот теперь мы можем сделав вот это представление что lnj для малых равен минус, просто вот это вот число, записать дальше.

         Если j равно произведению ji, то  lnj  это будет логарифм произведения, т.е. мы должны были раньше то записать, что Энергетический интервал - вот что вытекает из того, что резонансы независимые, и чтобы найти вероятность избежать захвата на всех резонансах, надо просто перемножить вероятности избежать захвата на каждом резонансе. Вот когда мы это записали, дальше мы берем логарифм вот этого произведения и действуем теперь дальше. Воспользуемся тем, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Поэтому мы можем записать, что это равно

Энергетический интервал.

Постепенно приближаемся к окончательной формуле и сейчас мы должны вспомнить, что такое определенный интеграл. Если у нас есть какая то функция, допустим, вот это летаргия, то определенный интеграл есть площадь под кривой. Как мы находим определенный интеграл? Разбиваем вот это дело на узенькие полосочки, находим в каждой из них среднее значение площади и суммируем. Такое понятие определенного интеграла. Здесь мы сейчас наоборот, от суммы вот этой вот, где мы помните, сечения представляли вот такой штукой, перейдем наоборот, к интегралу – обратное действие произведем. Т.е. когда у нас здесь это функцией изображается какой-то, нам неважно, и тогда мы можем записать, если мы сделаем это обратное действие – от суммы перейдем к интегралу, то здесь будет UТ
– тепловое, по всей области. Мы вместо Uк
везде должны просто текущее написать значения. Вместо DUк просто dU – дифференциал. Здесь у нас будет тогда   

Энергетический интервал.

         Если мы обратный переход, мы вот эту всю штуку вместо интеграла разбиваем на узкие полосочки, каждую полоску берем в том месте, где у нас есть резонанс, потому что между резонансами сечение равно 0, т.е. мы при этом делаем предположение такое – на самом деле очень близкое к действительности, что у нас сечение sс(U), а вот это U если растянуть вот этот масштаб, оно вот здесь вот большое, здесь 0, 0, 0, где-то там второй резонанс, где-то там третий резонанс и т.д. Т.е. то, что нам важно вот здесь вот чтобы сечение было правильное, а здесь оно все равно равно 0, когда мы интегрируем, если сечение равно 0, то и поток нейтронов, хоть он там есть, но умноженный на нулевое сечение, в этот интеграл, в эту площадь он ничего не даст. Тогда мы получили вот это вот выражение. Давайте дальше с ним поработаем. Запишем снова lnj, что отсюда можно вынести?

Энергетический интервал.

Вот такое выражение мы получили для lnj. Вот этот интеграл получил название эффективный резонансный интеграл поглощения. Мы его сейчас обозначим, выпишем, потом мы будем его анализировать, а пока просто обозначим.

Энергетический интервал.

Если пока забыть о физике, а просто нормально алгебраически продолжить запись, то мы получим, что тогда

Энергетический интервал.

И последнее преобразование формальное, нам надо это выражение пропотенцировать, т.е. от логарифма перейти к экспоненте. Поскольку логарифм имеет основание е, то тогда пропотенцированное выражение будет равно

Энергетический интервал.

Вот мы получили формально выражение для вероятности избежать резонансного захвата в процессе замедления на 238U  в гомогенном случае (мы рассматриваем гомогенный случай).

     Давайте проанализируем немножко это выражение. Как влияет на j каждый из параметров, которые входят вот сюда в показатель. Ясно, что когда в числителе концентрацию ядер 238U мы увеличиваем, а показатель степени отрицательный, то само j будет уменьшаться. Это вроде бы физически понятно – чем больше ядер резонансного поглотителя, тем и поглощение должно быть больше, а вероятность избежать захвата, наоборот, меньше. Теперь эффективный резонансный интеграл поглощения. Вот в теории резонансного поглощения для нейтронов, замедляющихся, резонансный интеграл играет такую же роль, как для тепловых нейтронов – сечение захвата тепловых нейтронов. Т.е. если эффективный резонансный интеграл будет больше, то больше будет поглощаться нейтронов, а поскольку этот показатель отрицательный здесь, вероятность избежать захвата будет меньше.

      Вопрос – т.е. диапазон должен быть больше?

В каком случае?