Динамическое поведение реактора

 

В предыдущей лекции мы определили коэффициент размножения нейтронов, как отношение числа процессов, при которых нейтроны рождаются, к числу процессов, при которых нейтроны исчезают. Мы записали такое выражение

Динамическое поведение реактора.

Именно этот параметр определяет динамическое поведение реактора, т.е. кэфф показывает,  растет ли мощность реактора, сохраняется ли она постоянной или мощность убывает. Потому что, если в каждую секунду рождается хотя бы чуть-чуть больше нейтронов, чем исчезает, то с каждым нейтронным циклом будет происходить нарастание количества нейтронов а вслед за этим будет идти и рост мощности реактора. Цепная реакция деления, если рассматривать количество возникающих при делении нейтронов от поколения к поколению, напоминает рост народонаселения Земли. В некоторых странах население убывает, потому что каждый год умирает больше людей, чем рождается, а в других странах, наоборот, население растет. А есть страны, где население стабильно. Вот эти процессы похожи.

Давайте для определенности выберем сферический реактор, радиус которого R0
– самое простое геометрическое тело, для которого математические выкладки наиболее просты. Пусть для этого реактора с радиусом R0

Р(R0) = Р0 ;

П(R0) = П0 ;

У(R0) = У0 .

Т.е. мы условно обозначили R0 — какой-то произвольный радиус. Теперь будем изменять радиус, все равно в какую сторону, и наблюдать, как будет меняться каждая из этих скоростей процессов – рождения, поглощения и утечки в зависимости от изменения радиуса реактора. Принимая за основу выбранный нами радиус R0, запишем, чему будет равна скорость рождения нейтронов Р(R), если известна скорость рождения Р0. Как она будет зависеть от изменения радиуса? Понятно, что если радиус R0, то тождественно должно быть R = R0.

Вспомним из курса геометрии или тригонометрии, как ведет себя объем шара как функция радиуса. Известно, что если радиус шара увеличивается в два раза, то объем шара увеличивается как куб радиуса. Значит, при прочих равных условиях, если в единице объема рождается одинаковое число нейтронов, то если мы увеличиваем радиус шара в два раза, то скорость рождения нейтронов увеличивается в 8 раз. Значит, мы можем с полным правом записать вот такое выражение

Динамическое поведение реактора.

Вот таким образом будет изменяться скорость рождения нейтронов при изменении радиуса сферического реактора от исходного значения R0 , которое мы произвольно приняли. Видно, что если R = R0  (R/R0 = 1), значит, у нас выполняется условие, что скорость рождения Р равна Р0 , которое мы обозначили.

То же самое можно записать и по отношению к скорости поглощения нейтронов

Динамическое поведение реактора,

потому что поглощение нейтронов тоже происходит в объеме реактора, и если объем больше, значит и поглощаться будет больше, т.е. можно говорить, что скорости этих процессов пропорциональны объему, а значит, кубу радиуса.

       А вот если перейти к утечке нейтронов, то положение изменится, потому что утечка нейтронов происходит через внешнюю поверхность реактора. Поверхность шара зависит от радиуса шара, как квадрат радиуса (площадь поверхности шара равна 4pR2). Значит, мы должны записать, что

Динамическое поведение реактора .

Вот такие простые соотношения мы получили для скоростей этих процессов при изменении радиуса, т.е. мы получили зависимость изменения скоростей этих процессов от изменения радиуса сферического реактора.

          Теперь подставим записанные выражения в формулу для кэфф, тогда  получим

Динамическое поведение реактора.

Это выражение определяет зависимость эффективного коэффициента размножения нейтронов кэфф от радиуса сферического реактора.

Это исходное выражение легко упрощается, если и числитель и знаменатель разделить на отношение (R/R0)3. Тогда получим

Динамическое поведение реактора ,                                            (1)

где Р0 – скорость рождения в исходном реакторе, П0 – скорость поглощения в исходном реакторе, У0
– скорость утечки в исходном реакторе. Вот какую простую формулу мы получили для коэффициента размножения нейтронов в сферическом реакторе в зависимости от изменения радиуса. Она, конечно, не позволяет вычислить кэфф, но позволяет понять, как он изменяется при изменении радиуса.

Что можно увидеть из этой формулы? Рассмотрим два предельных соотношения. Первый случай. Допустим, что R ® 0, т.е. реактор стягивается в точку. Понятно, что чем меньше радиус реактора, тем относительная утечка будет больше, т.е. если реактор вообще будет мал, как пылинка, то вообще все нейтроны будут вылетать из него, ни один внутри не останется. Формально математически это видно из формулы (1): когда R ® 0, то R0/R ® µ , значит, поскольку Р0  —  постоянное, то кэфф
® 0. Таким образом, мы можем записать, что в этом случае кэфф ® 0 при R ® 0. Это формально математически.

Т.е. чем меньше размер реактора, тем меньше эффективный коэффициент размножения нейтронов, при прочих равных условиях (все остальные параметры полагаем постоянными: состав реактора, обогащение топлива, количество  материалов, структура активной зоны  и т.д.).

Рассмотрим другой крайний случай – R ® µ, т.е. радиус реактора стремится к бесконечности. Если радиус реактора будет увеличиваться все больше и больше, то отношение поверхности к объему будет все меньше и меньше. И, наконец, когда среда реактора станет бесконечной, вся Вселенная будет заполнена этой средой реактора – тогда нейтронам некуда будет вылетать и утечки в этом случае просто не будет. Это видно и из формулы — если R ® µ, то R/R0 ® 0. Тогда можно записать, что кэфф будет стремиться к выражению, или параметру, который называется коэффициент размножения нейтронов в бесконечной среде кµ, который в нашем случае равен

Динамическое поведение реактора.